Math Post By Fixed Point @ Bangmod

screen-shot-2560-02-28-at-6-56-06-am

งานวิจัยในอนาคต (Future Works) ของ  KMUTT-Fixed Point at Bang Mod

ได้กล่าวถึงความรู้พื้นฐานและทฤษฎีบทที่สำคัญของทฤษฎีจุดตรึงเมตริกในปริภูมิตริก ปริภูมิบานาค ปริภูมิฮิลเบิร์ต และปริภูมิเมตริกวางนัยทั่วไป ซึ่งปัจจุบันพบว่านักคณิตศาสตร์ทั่วโลกได้ศึกษาและผลิตผลงานวิจัยทางด้านทฤษฎีจุดตรึงและการประยุกต์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสิบปีที่ผ่านมานี้ และมีการตีพิมพ์จำนวนมากในวารสารคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและเป็นที่ยอมรับในระดับโลก ซึ่งมีวารสารที่เกียวข้อง เช่น Fixed Point Theory and Applications (Springer Open), Journal of Fixed Point Theory and Application (Springer-Birkhauser), Fixed Point Theory (Cluj-Napoca, Romania), Journal of Nonlinear and Convex Analysis (Yokohama Publisher), Nonlinear Analysis (Elsevier), Journal of Functional Analysis (Elsevier), Nonlinear Functional Analysis and Optimization (Tayor $\&$ Francis), Journal Optimization Theory and Applications (Springer) รวมทั้งวารสารอื่นๆอีกมากมายซึ่งผู้แต่ได้ทำงานวิจัยด้านนี้และมีโอกาสได้ไปตีพิมพ์ในวารสารต่างๆเหล่านี้

ผมได้ใช้ความรู้และประสบการณ์ในการทำวิจัยทางด้านนี้ เพื่อรวบรวมงานวิจัยที่สำคัญในประเด็นต่างๆ อันจะทำให้ผู้อ่านและผู้ศึกษาสามารถเข้าใจและต่อยอดงานวิจัยไปในสาขาต่างๆได้ และเชื่อมโยงกับงานวิจัยในสาขาอื่นๆที่นำทฤษฎีจุดตรึงเมตริกไปใช้ โดยผู้ศึกษาจะสามารถขยายผลลัพธ์ในหนังสือเล่มนี้ในปริภูมิใหม่ๆ ดังที่กล่าวไว้ในหัวข้อ 1.2 หรือปริภูมิอื่นๆอีก เช่น ปริภูมิมอดุลาร์ ปริภูมิความน่าจะเป็น ปริภูมิมอดุลาร์เมตริก ปริภูมิมอดุลาร์วิภัชนัย ปริภูมิเมตริกเชิงวงกลม และ ปริภูมิเมตริกวิภัชนัย เป็นต้น (สามารถดูเพิ่มเติมได้จาก \cite{Chaipunya1,Chaipunya2,Chaipunya3,Chaipunya4,Chaipunya5,K1,MK1,MK2,Mongkolkeha,Mongkolkeha3,Mongkolkeha4,ws,ws8,ws16, Supak1, Supak2, Wongkum})

โดยผลลัพธ์ที่สำคัญของหนังสือเล่มนี้บางส่วนผู้เขียนและนักศึกษาปริญญาเอก คือได้นิยามสมบัติตัวร่วมของลิมิตในเรนจ์ (Common limit in the range property (CLRg)) ซึ่งเป็นสมบัติที่เบากว่าและมีประโยชน์มากกว่า สมบัติ E.A. และเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีจุดตรึงซึ่งได้ลดเงื่อนไขบางประการลงไป พร้อมยังได้ยกตัวอย่างที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้ เพื่อสนับสนุนและมองเห็นภาพ ซึ่งได้มีนักวิจัยจำนวนมากได้อ้างอิงและนำแนวคิดนี้ไปใช้ในประเด็นต่างๆ เช่น ในการส่งหลายค่า จุดตรึงในปริภูมิอื่นๆ (สามารถดูเพิ่มเติมได้จาก \cite{CLR1,CLR2,ws26,ws44,CLR3,CLR4,CLR5,CLR6,CLR7,CLR8,CLR9}) และนอกเหนืจากนี้ผู้แต่งได้นิยามการส่งหดตัวแบบ P (P-contraction mappings) เพื่อใช้ในการหาการมีจุดตรึง ซึ่งได้มีผู้นำไปประยุกต์ใช้และนำไปใช้อ้างอิงอีกมากมาย
ผมเห็นว่าทิศทางที่จะศึกษาการทำงานวิจัยในทางด้านนี้ ยังมีแนวทางที่สามารถทำได้อีกหลายประเด็น ผู้เขียนขอเสนอแนะแนวทางที่จะทำวิจัยและสร้างองค์ความรู้ใหม่ในทางทฤษฎีจุดตรึงเมตริก โดยสรุปเป็นประเด็นที่สำคัญได้ดังนี้
-ศึกษาทฤษฎีการมีอยู่จริงสำหรับการส่งไม่เชิงเส้นอื่นๆ เช่น การส่งของคันนาน การส่งไม่ขยายในปริภูมิมอดุลาร์วิภัชนัย ซึ่งผู้อ่านที่สนใจสามารถศึกษาได้จาก \cite{Wongkum} เป็นต้น
-ศึกษาทฤษฎีการมีอยู่จริงสำหรับการส่งไม่เชิงเส้นสำหรับการส่งค่าเดียว และการส่งหลายค่า ในปริภูมิเมตริกมอดุลาร์ ภายใต้เงื่อนไขและคุณสมบัติอื่น เช่น การส่งหดตัวแsบบ $P$ และการส่งแอดมิซซิเบิล-$\alpha$ สามารถดูเพิ่มเติมได้จาก \cite{Chaipunya5,Supak1, Supak2} เป็นต้น
-ศึกษาคุณสมบัติต่างๆบนปริภูมิเมตริกเชิงวงกลม เช่น คุณสมบัติการแยก (Separability) การบ่งประเภทของแบร์ (Baire’s category) รวมถึงศึกษาจุดตรึงร่วมของการส่งไม่เชิงเส้น เช่น การส่งคันนาน การหดตัวแบบอ่อน ดังตัวอย่างจาก \cite{Chaipunya3,Chaipunya4}
-ศึกษาคุณสมบัติของการส่งไม่เชิงเส้นแบบวิภัชนัย ในปริภูมิต่างๆ ตามแนวทางของ \cite{Supak1,Supak2}
-ศึกษาเสถียรภาพของปัญหาจุดตรึง จุดตรึงร่วม จุดทับซ้อน จุดใกล้เคียงที่ดีที่สุด การประมาณค่าที่ดีที่สุด ในปริภูมิต่างๆ ตามหัวข้อ 1.2
-ศึกษาการนำทฤษฎีจุดตรึงเมตริกไปประยุกต์ใช้ในการหาคำตอบของปัญหาอื่นๆ เช่น สมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงปริพันธ์ ปัญหาดุลยภาพ ปัญหาอสมการการแปรผัน \cite{Chaipunya4}

นอกจากนั้น ผมยังเห็นว่ายังมีประเด็นการศึกษาในแนวทางอื่นอีกมากมาย ซึ่งมีความร่วมสมัย เช่น การนำไปประยุกต์ในการหาค่าเหมาะสม ซึ่งใช้ได้อย่างกว้างขวาง ในสาขาฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ ทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์ เป็นต้น ซึ่งปัญหาดังกล่าวนี้ สามารถแปลงให้อยู่ในรูปของปัญหาสมการของจุดตรึง $x = Tx$ ซึ่งสามารถแก้ปัญหาด้วยทฤษฎีจุดตรึงเมตริกตามที่นำเสนอในหนังสือเล่มนี้

นี่คือ แนวทางในอนาคตของเรา KMUTT-Fixed Point Theory and Application Research GorupA0Poster_KMUTTFPTA.001.jpeg

ที่มา: บทสรุปหนังสือบทที่  6 โดย รองศาสตราจารย์ ดร.ภูมิ คำเอม มจธ.

ทฤษฎีจุดตรึงเมตริก (Metric Fixed Point Theory)

2015

===================================================ปัญหาดุลภาพเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Equilibrium Problem: (EP))

คือการหาค่า $\overline{x} \in K$ โดยที่
\begin{equation} \label{eq1}
F(\overline{x}, y) \geq 0 ~~~ \text{สำหรับทุกๆ} ~~~ y \in K
\end{equation}

โดยที่ $F : K \times K \rightarrow \R$ เป็นฟังก์ชันคู่ โดยที่ $F(x, x) = 0$ สำหรับทุกๆ $x \in K$ ดูเหมือนว่าปัญหาทั่วไปส่วนใหญ่และตัวแบบหนึ่งเดียวของปัญหาเชิงคณิตศาสตร์พื้นฐานมีหลากหลาย ได้แก่ ปัญหาค่าเหมาะสมที่สุด ปัญหาจุดอานม้า ปัญหาจุดตรึง ปัญหาอสมการมินิแมกซ์ ปัญหาดุลยภาพของแนช ปัญหาส่วนเติมเต็ม ปัญหาอสมการแปรผัน เป็นต้น ในปี 1955 Nikaido และ Isoda ได้เริ่มต้นพิจารณาว่าปัญหาดุลภาพเป็นปัญหาเสริมที่ใช้สร้างการมีอยู่ของผลลัพธ์สำหรับจุดดุลยภาพของแนชในเกมส์ที่ไม่มีข้อตกลงร่วมกัน (Non-cooperative Games) ในส่วนทฤษฎีของปัญหาดุลยภาพงานที่สำคัญถูกสร้างขึ้นโดย Ky Fan การมีอยู่ของผลลัพธ์ใหม่ของเขาถูกบรรจุเทคนิคดั้งเดิมซึ่งกลายเป็นพื้นฐานของทฤษฎีการมีอยู่ส่วนใหญ่ต่อไปในปริภูมิโทโพโลยี ภายในเนื้อหาวิชาแคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of Variation) ส่วนใหญ่ถูกผลักดันโดยงานของ Stampacchia ต่อมางานของ Brezis Niremberg และ Stampacchia ได้สร้างผลลัพธ์ที่มากกว่าผลลัพธ์ของ Ky Fan ในสองทศวรรษหลังนี้จึงเกิดทิศทางใหม่ในการทำวิจัยทางด้านการวิเคราะห์ไม่เชิงเส้น ค่าเหมาะสมที่สุด การควบคุมที่ดีที่สุด ทฤษฎีเกมส์ เศรษฐศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ เป็นต้น ผลลัพธ์ส่วนใหญ่ คือการมีอยู่ของคำตอบปัญหาดุลยภาพ ซึ่งถูกศึกษาในปริภูมิเวคเตอร์โทโพโลยี โดยการใช้ทฤษฎีจุดตรึงบางชนิด (จุดตรึงชนิด Fan-Browder) หรือทฤษฎีจุดตรึงชนิด KKM หลังจากงานของ Blum และ Otteli มีนักคณิตศาสตร์มากมายเริ่มศึกษาปัญหาดุลภาพอีกครั้งอย่างกว้างขวาง

การประยุกต์ทฤษฎีจุดตรึงของบราวเวอร์กับเกม (Applications Brouwer’s fixed point theorem with game theory)

เป็นที่ยอมรับกันดีว่า ทฤษฎีเกม เป็นสาขาวิชาหนึ่งที่ได้รับความนิยมมากในการใช้ศึกษาถึงพฤติกรรมและเหตุการณ์ต่างๆในวิชาเศรษฐศาสตร์ และยังเป็นสาขาวิชาที่ได้รับความสนใจอย่างมากจากนักคณิตศาสตร์

เกม (Game) เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์แบบหนึ่ง ซึ่งสามารถใช้ในการอธิบายเหตุการณ์ที่มีการแข่งขันกันระหว่างหลายฝ่าย ซึ่งแต่ละฝ่ายนี้จะถูกเรียกว่า ผู้แข่ง (Agents) ซึ่งผู้แข่งแต่ละฝ่ายจะสามารถตัดสินใจเลือก กลยุทธ์ (Strategy) ของตนได้ ซึ่งการตัดสินใจนี้ จะส่งผลให้แต่ละผู้เล่น (ไม่ใช่เฉพาะของตนเท่านั้น) ได้รับ อรรถประโยชน์ (Utilities) แตกต่างกันไป

ในบทนี้ เราจะศึกษาเกม ในขอบเขตจำกัด นั่นคือ ผู้แข่งมีจำนวนจำกัด และแต่ละผู้แข่ง มีเพียงทางเลือกจำกัด เท่านั้น

“ทุกเกมจำกัดมีกลยุทธ์ผสมดุลยภาพของแนช”

Topology

Parin Chaipunya

15 hrs · Edited ·

มีคนเคยสงสัย และถามผมหลายคน และบางคนหลายที

ว่า.. topology นี่มันคืออะไรกันแน่..

ขึ้นชื่อว่า topology.. เราก็มักจะเบ้ปาก และฝังความเชื่อว่า แม่งยาก.. ยากจนใครหลายคนเลือกที่จะไม่เรียน.. ยากขนาดที่หลายคนปิดใจ หันหลังหนีสาขานี้ไปเลย..

จริงๆตอนที่เราเรียน เรามักจะเริ่มว่า topology บนเซตๆนึง มันเป็น subfamily ของ powerset ที่มีสมบัติ 3 ข้อ.. ซึ่งมันโคตรจะบิดเบือนหัวใจของวิชานี้มากๆ

จริงๆแล้ววิชา topology มันจับต้องได้ง่ายมากๆ.. ง่ายพอๆกับวิชา geometry หรือเรขาคณิตที่เราเคยเรียนตอนเด็กๆ..

จริงๆแล้ว.. topology มันก็คือการศึกษาที่สืบต่อมาจาก geometry นั่นแหละ.. ถ้าจะพูดให้ชัดเจน ในลักษณะของคณิตศาสตร์.. geometry คือการศึกษาสมบัติของวัตถุ ซึ่งมีความยาวเป็นตัวตั้ง.. ส่วนใน topology เรามองข้ามความยาวไป คือเราศึกษาสมบัติของวัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การยืด หด กด บด บิด บี้ ดัน ดัด งอ ย่อ ขยาย.. แต่ถ้ามีการตัด ต่อ ปะ แบบนี้เราไม่สนใจ

เป็นเรื่องขบขันของนักคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ ที่ชอบล้อว่า topologist ไม่สามารถแยก โดนัท(ทรงtorus) ออกจากแก้วกาแฟที่มีหูเดียวได้.. ไม่สามารถแยกรูปวงกลม ออกจากรูปหัวใจได้.. ถ้าอยากเข้าใจ ก็ต้องลองทำอย่างที่ว่าด้านบนดู ว่าเราจะทำให้โดนัทกลายเป็นแก้วกาแฟ และทำให้วงกลมเป็นรูปหัวใจได้อย่างไร..

สมบัติน่ารักๆใน topology ที่จะยกตัวอย่างวันนี้ คือ simple connectedness และ connectedness.. ปัญหาที่ดูขำๆนี้ ถูกคิดค้น และศึกษาแบบไม่ขำโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง คือ Henri Poincaré

เริ่มจาก connectedness ก่อน.. เรามีพื้นผิวอยู่ชิ้นนึง จะบอกว่ามัน connected เมื่อเราสามารถโยงเส้นโค้งไปเชื่อมกับจุดสองจุดใดๆบนพื้นผิวนั้นได้เสมอ อันนี้เข้าใจง่าย..

ส่วน simple connectedness ต้องมีสมบัติน่ารักคือ.. เราเริ่มจากเอาหมุดไปตอกบนพื้นผิว.. เอาเชือกยาวเท่าไหร่ก็ได้มัดไว้กับหมุด แล้วเราก็เดินจูงเชือกนั้นเดินไปเรื่อยๆบนพื้นผิว เมื่อเดินจนเบื่อแล้วก็วนกลับมาที่หมุดอันเดิม แล้วก็เริ่มสาวเชือกกลับเข้าหาตัว.. ถ้าเชือกมันกลับมาหาเราได้จนหมดเส้น ไม่ว่าเราจะเดินยังไงก็ตาม.. นั่นคือพื้นผิวพี่เราเดินอยู่บนนั้น มีสมบัติ simple connectedness ส่วนถ้าเราสามารถเดิน แล้วดึงเชือกกลับมาไม่ได้ (คือมันติดอะไรสักอย่าง..) พื้นผิวนั้นก็ถือว่าไม่มีสมบัติ simple connectedness

ถ้าเราอ่านนิยามจริงๆของ simple connectedness จะกล่าวว่า พื้นผิวหนึ่งๆจะมีสมบัตินี้ ถ้าสำหรับสองจุดใดๆบนพื้นผิว เส้นโค้งที่เชื่อมกับสองจุดดังกล่าวสองเส้นใดๆจะต้อง homotopic ซึ่งกันและกันเสมอ..

จะเห็นว่า ถ้าเรายึดแต่จะอ่านข้อความ โดยไม่จินตนาการอะไรเลย เราจะศึกษา topology ได้อย่างไม่มีประสิทธิภาพเลยครับ

พอจะเห็นภาพมั้ยครับ ว่า topology มันน่ารักขนาดไหน.. ^_______^

11239609_934544473235260_7036468023900607701_n


Convex Analysis

Parin Chaipunya

July 27 at 11:16am ·

พูดถึง นักคณิตศาสตร์อีกท่าน ที่เป็น living legend

Ralph Tyrrell Rockafellar (คนกลางในภาพ นะจ้ะ ส่วนคนขวานี่ที่ปรึกษาผมเอง เป็นตำนานไปแล้ว ยกไว้บนหิ้งก่อนนะครับ 5555) เกิดปี 1935 เรียกว่าวิชา convex analysis นี่ก็คลอดมากับพี่แกเลยครับ

แกเป็นคนริเริ่มพัฒนาการศึกษา convex analysis อย่างจริงจังคนแรกๆ โดยชี้ให้เห็นถึงคุณสมบัติหลายๆอย่างที่สืบทอดมาจาก affininty แบบไม่น่าเชื่อ และยังมีประโยชน์กับการประยุกต์ใช้จริงอีกต่างหาก

สิ่งที่ Rockafellar ชี้ให้เราเห็นถึงความสำคัญของ convexity นั้น โยงมาจาก intuitive geometry หลายๆอย่างของ Euclidean รวมทั้ง Hilbert spaces ทำให้เรารู้ว่า การศึกษา constrained optimization ในหลายๆกรณีที่นิยมทำกันสมัยนั้น(และยาวมาจนถึงสมัยนี้) สามารถถูกแทนที่ด้วยแนวคิดทาง convex analysis ได้มากทีเดียว

สิ่งที่ควบคู่มากับการศึกษา convexity ก็คือการศึกษา set monotonicity นั่นเอง และนี่ก็เป็นอีกสิ่งหนึ่งที่ Rockafellar ได้พูดถึงและเน้นย้ำมาโดยตลอด

จุดพีคมันอยู่ที่ว่า ในวงการ financial mathematics ที่ถ้าเราย้อนไปสัก 20 ปี จะเห็นว่ามีการใช้ DE models (เช่น Black-Scholes equation) กันเป็นหลักนั้น ได้หยิบเอา monotonicity ของเฮีย Rockafellar มาใช้มากขึ้นในช่วง 10 ปีหลัง และส่วนมากจะพูดเป็นเสียงเดียวกันว่า ถ้ามันสะดวกกว่ากันขนาดนี้ รู้งี้ใช้มาตั้งนานแล้ว!

11722321_930043510352023_3072193575105203112_o


Parin Chaipunya

July 13 at 10:51am  11694092_919445188078522_4361024925382076360_n

Weak Convergence

จริงๆเคยอยากเขียนไว้คร่าวๆนานแล้ว ว่าทำไมต้อง weak convergence..

เกริ่นก่อน.. คนที่เคยเรียน analysis ต้องเจอกับ convergence (จริงๆต้องเจอตั้งแต่ใน calculus แต่เป็นวิธีการเชิงคำนวณ ไม่ใช่เชิงตรรกะ จึงไม่พูดถึง) ซึ่งจริงๆ ถ้าจะพูดต่อ มันก็จะมี convergence อยู่อีกหลายนัยยะ ตั้งแต่ง่ายที่สุด คือ convergence ของจุด จนไปถึง ของวัตถุที่ซับซ้อนขึ้น เช่น operators รวมทั้ง functions ต่างๆ

ทีนี้ เมื่อศึกษาไปไกลขึ้น ถึงพวก advanced analysis ก็จะมีอีกหลายแบบ ทั้ง pointwise convergence smooth convergence บน function spaces และพวก convergence in measure บน measurable spaces ซึ่งที่พูดมาทั้งหลายนี่ ไม่ attainable จาก norm (strong) topology

อย่างไรก็ดี convergence mode ทั้งหมดที่กล่าวถึงนี้ มีความสำคัญมาก ที่จะเข้าใจโครงสร้างต่างๆของปริภูมิที่เราศึกษา และยังใช้งานได้จริง แถมยังไม่น่าเชื่อว่า พวก mode ที่กล่าวถึงนี้ สามารถจัดให้เข้าอยู่ในพวก weak convergence ได้ทั้งนั้น

นี่เป็นเหตุผลอีกอย่างที่ทำให้ weak convergence มีความสำคัญ นอกเหนือจากความสวยงาม พอเหมาะพอเจาะ ของมันนะครับ


Game Theory

Parin Chaipunya shared บีบีซีไทย – BBC Thai‘s photo.

May 24 · Edited ·

John Forbes Nash Jr. เสียชีวิตแล้วนะครับ..

ถือความสูญเสียที่ยิ่งใหญ่ที่สุดอย่างหนึ่งของวงการคณิตศาสตร์โลก..

พลอยทำให้ผมรู้สึกเศร้าลงไปด้วย น้ำตาไหลอย่างบอกไม่ถูก.. นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก ไม่ควรต้องมีจุดจบเช่นนี้เลยครับ

ผมเป็นคนหนึ่ง ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากงานวิจัยของ Nash

และยังทำงานวิจัยสืบเนื่องมาจาก Nash ด้วย ในหัวข้อ Game Theory

ผมขอเขียนงานวิจัยด้านนี้ เพื่อตีพิมพ์ลงวารสาร Bangmod JMCS อุทิศให้กับ Nash เพื่อแสดงความอบคุณกับแรงบันดาลใจที่ยิ่งใหญ่ท่านนี้ด้วยครับ

Moo Bin Poom Plern Saipara Darunee Hunwisai

S__1605644.jpg

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

Thai LaTeX and MATLAB

ThaiLaTeX Thai LaTeX MiKTeX MATLAB

Renewable Energy Research Centre (RERC)

International Research Lab

TaCS - Center of Excellence

Center of Excellence in Theoretical & Computational Science (TaCS-CoE)

WG-ANA

Working Group on Applied Nonlinear Analysis

NCAO-Research Center

NONLINEAR CONVEX ANALYSIS AND OPTIMIZATION Research Center

ACFPTO2020

The 11th Asian Conference on Fixed Point Theory and Optimization (ACFPTO2020), July 15-18, 2020 at Pattaya, Thailand

IWANA2019

International Workshop on Applied Nonlinear Analysis (IWANA 2019), September 12-14, 2019, Bangsaen, Chonburi, Thailand

Michael Ruzhansky

Michael Ruzhansky, Senior Full Professor of Mathematics, Ghent University, and Professor of Mathematics, Queen Mary University of London

Scholarly Open Access

Critical analysis of scholarly open-access publishing

thedroidyourelookingfor.wordpress.com/

Come for the stick figures. Stay for the Bergman.

The WordPress.com Blog

The latest news on WordPress.com and the WordPress community.

%d bloggers like this: